Konunun en kritik bilgileri — hızlı tekrar için.
Çarpanlara ayırma gereği x³ + y³ ifadesi daima x + y sayısına ve ilgili ikinci derece denkleme kalansız olarak bölünür.
Bölme işleminde bölünen sayı, bölen ile bölümün çarpımına kalanın eklenmesiyle elde edilir. Bu eşitlik bölme kurallarının temelidir.
Doğal sayılarda yapılan bir bölme işleminde kalan sayı daima bölen sayıdan küçük olmak zorundadır.
Birler basamağı çift rakamlardan yani 0, 2, 4, 6 veya 8'den oluşan sayılar 2 ile kalansız bölünür.
Bir sayının rakamları toplamı 3 veya 3'ün tam katı ise, o sayı 3 ile kalansız bölünür.
Bir sayının son iki basamağı 00 veya 4'ün tam katı olan sayılardan oluşuyorsa, bu sayı 4'e kalansız bölünür.
Birler basamağında 0 veya 5 rakamı bulunan tüm sayılar 5 ile kalansız olarak bölünür.
Aynı anda hem 2 ile hem de 3 ile tam bölünebilen tüm sayılar 6 ile de tam bölünür.
Sayının son üç basamağının oluşturduğu sayı 000 veya 8'in katı ise, o sayı 8 ile tam bölünür.
Rakamlarının toplamı 9 veya 9'un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür. Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.
Birler basamağındaki rakam sadece 0 olan sayılar 10 ile kalansız tam bölünür.
Sayının rakamları sağdan sola doğru sırasıyla artı, eksi şeklinde işaretlenip toplanır. Sonuç 0 veya 11'in katıysa sayı 11'e tam bölünür.
Büyük sayıların kuralı, aralarında asal çarpanları üzerinden bulunur. Bir sayı hem 3'e hem de 4'e tam bölünüyorsa 12'ye de tam bölünür.
15 sayısının aralarında asal çarpanları 3 ve 5'tir. Bu sebeple hem 3'e hem de 5'e tam bölünen her sayı 15'e tam bölünür.
Bir sayı aralarında asal olan 2 ve 9 sayılarına tam bölünüyorsa, bunların çarpımı olan 18 sayısına da tam olarak bölünür.
20 ile kalansız bölünebilme aranan bir soruda sayının hem 4 ile hem de 5 ile tam bölünüp bölünmediğine bakılmalıdır.
24 sayısını elde etmek için aralarında asal 3 ve 8 seçilir. Bir sayı hem 3'e hem 8'e tam bölünürse 24'e de bölünür.
Bir sayının 30 ile bölünebilmesi için aralarında asal olan 3 ve 10 sayılarına kalansız olarak bölünmesi gerekir.
Büyük sayılar için uygulanan kural burada da geçerlidir. Hem 4'e hem de 9'a tam bölünen sayılar 36'ya kalansız bölünür.
45 sayısı için kontrol edilecek çarpanlar aralarında asal olan 5 ve 9 sayılarıdır. İkisine birden bölünen 45'e de bölünür.
Bir sayının 90'a tam bölünüp bölünmediğini anlamak için sayının hem 9'a hem de 10'a tam bölünme şartlarına bakılır.
Kuralı bilinmeyen büyük sayılarda bölünebilme şartı aranırken, sayı aralarında asal iki çarpana ayrılıp bu çarpanların kuralları işletilir.
İki sayının toplamının bir x sayısına bölümünden kalan, bu sayıların o x sayısına ayrı ayrı bölümlerinden kalanların toplamının x ile bölümünden kalana eşittir.
Büyük sayıların çarpımının kalanını bulmak için sayılar ayrı ayrı bölünüp kalanları bulunur. Kalanların çarpımının bölümünden gelen sonuç asıl kalandır.
Bir sayının kuvvetinin kalanı istendiğinde, önce sayının kendisinin kalanı bulunur. Sonra bu kalanın aynı kuvveti alınarak işlem kolayca bitirilir.
Kalanlarla işlem yaparken sonuç negatif eksi çıkarsa, çıkan sonuca bölünen sayı kadar ekleme yapılarak kalan her zaman pozitife çevrilir.
Büyük sayılarda rakamlar toplamı yaparken toplamı 9 olan rakamları işlemi uzatmamak için hemen çizip silebilir, kalan sayıları toplayabilirsiniz.
Hem 2 hem de 5 ile bölünebilme kurallarında sayının ne kadar büyük olduğuna bakılmaz, sadece en sondaki birler basamağı sonucun ne olduğunu belirler.
Sayının 4, 25 veya 100 ile bölümünden kalanı bulmak için baş kısımdaki rakamları yoksayıp sadece son iki basamağına bakmak yeterli bir pratik yoldur.
8, 125 veya 1000 ile bölünebilme durumlarında devasa sayıların sadece son üç basamağını bölerek kalanı kesin olarak tespit edebilirsiniz.
Bir sayıyı 10 sayısına bölmenize gerek yoktur. Sayının birler basamağındaki rakam doğrudan 10 ile bölümünden kalanı ifade eder.
Elinizdeki sayının 100 ile bölümünden kalanı soruluyorsa, bölme işlemi yapmadan doğrudan son iki basamağı yanıt olarak alabilirsiniz.
Yan yana gelen ardışık iki tam sayının çarpımında sayılardan biri kesinlikle çift olacağı için sonuç daima 2 sayısına tam olarak bölünür.
Ardışık olan üç tam sayı çarpıldığında içlerinden en az biri çift, en az biri 3'ün katı olacağından çarpım daima 6 sayısına tam bölünür.
Püf noktası şudur: Ardışık dört tam sayının çarpımı kendi içindeki asallar gereği her zaman 24 ile kalansız bölünür.
Tek sayıların tüm pozitif kuvvetleri her zaman tek sayı sonuç vereceği için, bu sayıların 2 ile bölümünden kalan daima 1 olacaktır.
Sıfır hariç çift sayıların tam sayı kuvvetleri mutlaka çift çıkar. Dolayısıyla hepsinin 2 ile tam bölüneceğini ve kalanın sıfır olacağını unutmayın.
Bölünen sayı bölenden büyük olduğu müddetçe, aşağıya inip bölünmeyen her rakam için bölüme bir adet sıfır yazılması mecburidir.
Bölen daima kalandan büyük olmak zorundadır eşitsizliği kurularak özellikle harfli bölme işlemlerindeki bilinmeyen sınırları hemen belirlenir.
Kalan böleni geçemeyeceği için, kalanın alabileceği en büyük tam sayı değeri bölenden tam 1 eksik olan tam sayıdır.